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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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2. Hallar en los siguientes casos el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$.
c) $f(x)=\frac{5 x}{x^{2}-4}$

Respuesta

Como te dije, para resolver estos ejercicios es indispensable que hayas visto el video de dominio de funciones, para que puedas reconocer las tres restricciones de dominio que te expliqué. 

Vamos con el ejercicio. Nos piden hallar el dominio de $f$ y decidir si $-3 \in \operatorname{Im} f$


Primero calculamos el dominio de la función:

$f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$
Para encontrar el dominio, debemos asegurarnos de que el denominador no sea igual a cero:
$x^2-4\neq0$
$x^2\neq4$


$\sqrt{x^2}\neq\sqrt{4}$

  $|x|\neq\sqrt{4}$
$|x|\neq2$
Resolviendo el módulo nos queda $x \neq -2$ y  $x \neq 2$, es decir:
$\text{Dom } f= \mathbb{R} - \{-2; 2\}$ o, lo que es lo mismo: $(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$


Para saber si -3 pertenece a  la imagen de la función, podemos armar una tabla de valores y graficar la función, ya que aún no sabemos calcularla. 


💡 Mi recomendación para este ejercicio: hacé una tabla de valores y graficá aproximadamente la función para luego evaluar qué pasa para $y=-3$.


Ahora bien, otra forma un poco más rebuscada, sería reemplazar el -3 como valor de la función y ver si corresponde a una $x$ perteneciente al dominio de la función:


Es decir, planteamos que $f(x)= -3$ y despejamos $x$:


$\frac{5x}{x^2-4} = -3$


$5x = -3(x^2-4)$

$5x = -3x^2+12$


$0 = -3x^2 - 5x +12$


Usamos la fórmula resolvente de cuadráticas, sabiendo que $a=-3$, $b=-5$ y $c=12$, y nos queda:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(-3)(12)}}{2(-3)}$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{-6}$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{-6}$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 13}{-6}$
Entonces, las soluciones son: $x_1 = \frac{5 + 13}{-6} = -3$ $x_2 = \frac{5 - 13}{-6} = \frac{4}{3}$


Estos dos valores de $x$ están dentro del dominio de la función.


Conclusión: $-3$ pertenece a la imagen de la función. $-3 \in \operatorname{Im} f$
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ExaComunidad
Jazmín
14 de mayo 10:25
buen dia profe! te queria preguntar que paso con el signo - del numero 3 en la formula resolvente... no deberia quedar 2.(-3)= -6 en el denominador? espero que se entienda mi duda. Gracias!
1 respuesta
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